Modulets indhold, forløb og pædagogik

Formål:

Formålet med dette modul er at give de studerende viden og forståelse for matematiske teorier og metoder der kan anvendes bredt indenfor analyse af lineære systemer på et applikationsniveau. Ydermere skal modulet understøtte de studerende i deres forståelse af kompleks funktionsteori og vektoranalyse.

Læringsmål

Viden

• Kunne demonstrere forståelse for koncepter, teorier og metoder anvendt inden for kompleks funktionsteori, herunder:
  • Analytiske funktioner og deres afledte
  • Cauchy-Riemann ligninger
  • Kurveintegraler
  • Cauchys integralsætning og integralformel
  • Grafiske repræsentationer af gængse komplekse afbildninger; Möbius (og dets specialtilfælde), trigonometriske, polynomiske, logaritmiske og eksponentielle.
• kunne demonstrere forståelse for koncepter, teorier og metoder anvendt inden for rækkeudviklingsteori og Fouriertransformation, herunder:
  • Talfølger, talrækker og konvergenstest
  • Potensrækker – Koefficienter og centrum af potensrækker
  • Konvergensradius og Cauchy-Hadamards formel
  • Taylor- og Maclaurinrækkeudviklinger
  • Fourierrækker af periodiske funktioner
  • Fourierrækker af lige og ulige funktioner
  • Fourier cosinus- og Fourier sinusrækker
  • Fourierintegraler
  • Fouriertransformationen
  • Beregning af amplitude- og fasekarakteristikker ud fra Fouriertransformationen
• kunne demonstrere forståelse for koncepter, teorier og metoder anvendt indenfor vektoranalyse, herunder:
  • skalarfelter og vektorfelter
  • rumlige integraler, herunder kurveintegraler, fladeintegraler og volumenintegraler i forskellige varianter
  • begreberne flux og cirkulation
  • rumlige differentialer, herunder gradient, divergens og rotation
  • parametriske beskrivelser af kurver og flader
  • Greens sætning. Stokeses sætning, Gausses sætning og Holmholtzes sætning
  • begreberne konservative felter og solenoidale felter
  • begrebet potentialefunktion

Færdigheder

• kunne anvende de præsenterede koncepter, teorier og metoder inden for kompleks funktionsteori:
  • til at bestemme om en funktion er kontinuert og/eller analytisk
  • til at bestemme om en funktion er analytisk ved at anvende Cauchy-Riemann ligninger.
  • på sammenhængen mellem eksponentielle, trigonometriske og hyperbolske funktioner.
  • på Möbiustransformationen (fractional linear transformations) og dens specialtilfælde, herunder skalering, translation, rotation og invertering.  
  • til at designe en Möbiustransformation ud fra randpunkter
  • på kurveintegraler, lukkede kurveintegraler og til parametrisering af disse.
  • på vejuafhængige kurveintegraler.
  • til at finde funktioners kritiske punkter
  • ved at anvende Cauchys integralsætning og -formel på analytiske funktioner.
• kunne anvende de præsenterede koncepter, teorier og metoder inden for rækkeudviklingsteori og Fouriertransformation:
  • til at analysere rækkeudviklinger med fokus på konvergenstest (fx ved brug af Comparison Test, Ratio Test eller Root Test)
  • til at specificere og analysere potensrækker, med fokus på konvergens og beregning af konvergensradius vha. Cauchy-Hadamards formel.
  • til at danne potensrækker vha. Taylor- og Maclaurinapproximation.
  • til at danne Fourierrækker for periodiske funktioner.
  • Til at danne Fourierrækker for lige og ulige funktioner samt med arbitrære periodelængder (2L).
  • Til at danne Fourierintegraler
  • Til at Fouriertransformere reelle og komplekse funktioner.
  • Til at beregne amplitude- og fasekarakteristikker for Fourierrækker og -transformationer.  
• kunne anvende de præsenterede koncepter, teorier og metoder inden for vektoranalyse til at:
  • fremstille parametriske repræsentationer af kurver og flader ud fra verbale, formelle eller grafiske beskrivelser (- en tegning!)
  • skitsere givne kurver og flader
  • evaluere kurveintegraler, dobbeltintegraler, fladeintegraler og volumenintegraler
  • bestemme divergens, gradient og rotation for givne skalar- og vektorfelter
  • evaluere rumlige integraler under anvendelse og Gausses sætning og stokeses sætning
  • bestemme en potentialfunktion for et givne konservativt felt samt kontrollere løsningen
  • evaluere vejuafhængige kurveintegraler ved at finde stamfunktion

Kompetencer

• kunne argumentere for designvalg og indgå i diskussioner angående lineære systemer ved brug af termer inden for kompleks funktionsteori, vektoranalyse, rækkeudviklingsteori og Fouriertransformation.

• kunne anvende relevante koncepter, teorier og metoder inden for kompleks funktionsteori til at:
  • bestemme den korrekte metode til at integrere en given funktion.
  • Bestemme i hvilket domæne en given funktion er analytisk.
  • Genkende de specifikke transformationer; Möbius (og dens specialtilfælde), trigonometrisk, polynomisk, logaritmisk og eksponentiel.
  • Præsentere opgaveløsninger på en klar og tydelig måde.

• kunne anvende relevante koncepter, teorier og metoder inden for rækkeudviklingsteori og Fouriertransformation til at:
  • analysere rækkeudviklinger og deres konvergens
  • foretage passende valg af udviklingspunkt og antal koefficienter i forbindelse med Taylor- og Maclauringapproksimationer.
  • foretage passende valg af periodelængde af grundfrekvens, symmetri og antal koefficienter der er nødvendige for at dække den spektrale båndbredde i forbindelse med Fourierrækkeudvikling af periodiske funktioner.
• kunne anvende relevante koncepter, teorier og metoder inden for vektoranalyse til at:
  • fremstille løsningen således, at tankegangen klart fremgår på en saglig måde.
  • vurdere en given opgave i vektoranalyse og udvælge den mest hensigtsmæssige løsningsform

Undervisningsform

Forelæsninger, opgaveregning, workshops, selvstudie.

Eksamen

Prøver